几何画板验证费尔巴哈定理

九点圆是几何学史上的一个著名问题，最早提出九点圆的是英国的培亚敏。一位高中教师费尔巴哈也曾研究了九点圆，他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里，文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质，故有人称九点圆为费尔巴哈圆。费尔巴哈定理如下：九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切。那么该如何在几何画板中验证该定理呢，动态演示定理的证明过程呢？本节我们就来一起探讨。

具体的操作步骤如下：

步骤一 画出九点圆。这里就不再详细介绍画九点圆的过程，具体可参考：如何用几何画板画九点圆。

在几何画板中画出九点圆示例

步骤二 作内切圆。选择点B、A、C，选择“构造”菜单中的“角平分线”，作出∠BAC 的平分线k， 用同样的方法作出∠ABC平分线l，选择角平分线k、l，选择“构造”菜单中的“交点”，作出内切圆圆心Q，选择点Q、线段BC，选择“构造”菜单中的“垂线”，作出线段BC的垂线m，求出线段BC和垂线m的交点R。 选择点Q、R，选择“构造”菜单中的“以圆心和圆周上的点作圆”，作出内切圆Q。

画出九点圆的内切圆示例

步骤三 作旁切圆。选择点B、A，选择“构造”菜单中的“直线”，在直线AB上取一点S，选择点C、A、S，选择“构造”菜单中的“角平分线”，作出∠CAS 的平分线n，选择角平分线l、n，选择“构造”菜单中的“交点”，作出旁切圆圆心T，选择点T和线段AC，选择“构造”菜单中的“垂线”，作出垂线，求出AC和垂线的交点U，选择点T、U，选择“构造”菜单中的“以圆心和圆周上的点作圆”，作出旁切圆T。

画出九点圆的旁切圆示例

步骤四 隐藏辅助线，得到如下图所示的九点圆的内切圆和旁切圆。

九点圆的内切圆和旁切圆示例

以上给大家讲解了画出九点圆的内切圆和旁切圆的方法，也由此验证了费尔巴哈定理的正确性。费尔巴哈定理描述了三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆的位置关系，是平面几何学中十分优美的定理之一。通过该教程，旨在让大家理解费尔巴哈定理，掌握该定理的内容。几何画板不仅仅可以用来画几何图，也可以验证课本中的数学定理，在几何画板官网上介绍了利用几何画板验证定理的教程，大家可以前往学习。